著名的代数基本定理指, 在 $ \mathbb{C}[x] $ 中, 每一个复系数 $ n>0 $ 次多项式(已化为首一多项式)
\[f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0\]都有 $ n $ 个复根, $ k $ 重根按 $ k $ 个根算.
证明代数基本定理只需要证明 $ n>0 $ 次多项式有一个根即可, 比如设为 $ x_0 $, 则有
\[f(x)=\left(x-x_0\right)g(x),\]这里 $ g(x) $ 是一个 $ n-1 $ 次多项式, 对 $ g(x) $ 再次使用上面的定理, 以此类推, 最终得到 $ f(x) $ 有 $ n $ 个根.
接下来展示高斯在1799年给出的第一种证明方法, 这是历史上代数基本定理的第一个(不严谨的)证明.
高斯将多项式 $ f(x) $ 重写成
\[f(a+bi)=u(a,b)+v(a,b)i\]的形式, 其中设 $ x=a+bi $, $ u(a,b) $ 和 $ v(a,b) $ 是以 $ a $ 和 $ b $ 为自变量的二元实系数实值多项式.
求 $ f(a+bi) $ 的根, 就是要找出 $ a $ 和 $ b $, 使得 $ u(a,b)=0 $ 和 $ v(a,b)=0 $ 同时成立, 而 $ u(a,b)=0 $ 和 $ v(a,b)=0 $ 可以看做 $ a-O-b $ 平面上的两条曲线, 使得 $ f(a+bi)=0 $ 的 $ (a,b) $ 就是曲线 $ u(a,b)=0 $ 和 $ v(a,b)=0 $ 的交点.
设 $ \left\vert x\right\vert $ 是 $ x $ 的模, 当 $ \left\vert x\right\vert $ 足够大时, $ f(x)=x^n+\cdots+a_1 x+a_0 $ 的值和函数 $ \phi(x)=x^n $ 的值是差不多的. 我们将 $ x=a+bi $ 写成三角形式，即 $ x=r(\cos\theta+i\sin\theta) $, 其中 $ r=\left\vert x\right\vert $, $ \theta $ 是复数 $ x $ 的辐角, 由棣莫弗定理知
\[x^n=r^n(\cos n \theta+i\sin n \theta),\]所以 $ \phi(x)=r^n\cos n \theta+ir^n\sin n \theta $, 于是在图像上, $ u(a,b) $ 和 $ r^n\cos n\theta $ 在距离原点足够远的地方看起来是差不多的, $ v(a,b) $ 与 $ r^n\sin n\theta $ 也同理.
$ \cos n \theta=0 $ 和 $ \sin n \theta=0 $ 是过原点的 $ 2n $ 条直线, 其中属于 $ \cos n \theta $ 和 $ \sin n \theta $ 的直线交错出现, 各有 $ n $ 条. 现在画一个以原点为圆心, $ N>0 $ 为半径的圆 $ C $, $ N $ 是一个足够大的实数, 则当 $ \left\vert x\right\vert >N $ 时, $ u(a,b)=0 $ 和 $ v(a,b)=0 $ 的图像也是交错出现的.
下面关注圆 $ C $ 内的情况, 因为任意多项式都一定是连续的, 图像上来说就是多项式的曲线一定是连续不断的, 而现在 $ u(a,b)=0 $ 和 $ v(a,b)=0 $ 的图像在圆外交错出现, 由几何直观可知, 在圆内二者必定相交, 也就是说 $ f(x) $ 至少有一个零点.
例如 $ f(x)=x^3+1+i $ 时, $ u(a,b)=a^3-3ab^2+1 $, $ v(a,b)=3a^2b-b^3+1 $, 图像如下:
在1799年之后, 高斯又发表了另外三个代数基本定理的证明.
参考文献: Klein, F. (2020). 高观点下的初等数学 (舒湘芹, 陈义章, 杨钦樑, 吴大任, 译). 华东师范大学出版社.