证毕QED

经典特殊函数

本文专注于一般分析学中常见的特殊函数, 尤其是在Wolfram计算中经常出现的特殊函数, 而不关注一些专门分支中的特殊函数, 例如椭圆函数, 数论中的特殊函数, 物理中的特殊函数等. Gamma函数 $\Gamma$ 函数起源于阶乘的推广. 定义(Gamma函数) $$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}...

Posted by 证毕QED on February 21, 2026

克利福德代数

定义定义(二次型) 设 $R$ 是一个交换环, $M$ 是一个 $R$ -模, 映射 $q\colon M\to R$ 如果满足以下条件, 则称 $q$ 是 $M$ 上的一个二次型: 1, $\forall x\in M$ , $r\in R$ , 都有 $q(rx)=r^2q(x)$ ; 2, $\forall a,b,c\in M$ , 都有 ...

Posted by 证毕QED on February 12, 2026

序与格

序序结构序结构一般指一个集合 $X$ 连带其上一个二元关系 $\le$, 该关系一般可以满足以下条件中的若干个. 自反性: $\forall x\in X$, $x\le x$; 传递性: $\forall x,y,z\in X$, 若 $x\le y$ 且 $y\le z$, 则 $z \le z$; 反称性: $\forall x,y\in X$, 若 $x\le...

Posted by 证毕QED on January 25, 2026

椭圆积分

为椭圆函数和椭圆曲线提供背景

本文主要介绍椭圆积分理论基础, 主要目的是为椭圆函数论和椭圆曲线论提供背景, 因此省略椭圆积分理论的大部分计算性内容和严谨的分析学内容. 椭圆积分椭圆周长椭圆积分起源于求解椭圆周长问题. 不妨设椭圆方程为 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\] 其中 $ b\ge a>0 $, 我们做换元 $ x=a\cos\theta $, $ ...

Posted by 证毕QED on January 11, 2026

魏尔斯特拉斯函数

由高中时笔记修改而来. 定义(魏尔斯特拉斯函数) 魏尔斯特拉斯函数定义为 $$ W(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x), $$ 其中 $a\in(0,1)$ , $b$ 是正奇数, 并且满足 $ab>1+\frac{3\pi}{2}$ . 魏尔斯特拉斯证明了该函数是良定的, 并且在实数...

Posted by 证毕QED on December 25, 2025

测度论

实数集上的勒贝格测度定义开区间 $I$ 的长度 $m(I)$ 定义为 $$ m(I) = \begin{cases} b - a, & I = (a, b), a, b \in \mathbb{R} , a < b, \\ 0, & I = \emptyset, \\ +\infty, & I = (-\infty, a) \...

Posted by 证毕QED on December 7, 2025

哑演算

多项式列设 $\{p_n(x)\}_{n=0}^\infty$ 是一列 $\mathbb{C}[x]$ 中的多项式, 以后我们说的多项式列都要求有 $ \deg p_n=n $, 即第 $ n $ 个多项式的次数恰好为 $ n $, 其中当 $ n=0 $ 时解释为非零常函数 ( $ p(x)=0 $ 的次数通常定义为无穷小 ). 显然这样的一列多项式组成线性空间 $ \mathbb{C...

Posted by 证毕QED on November 21, 2025

伯努利数

基础定义和性质定义(伯努利数) 伯努利数定义为以函数 $$ \frac{z}{e^z-1} $$ 为生成函数的数列, 即有幂级数 $$ \frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty B_{n}\frac{z^n}{n!}, $$ 上式在复数 $ |z|<2\pi $ 时收敛, 其中 $ B_n $ 称为伯努利数. $ B_0 = 1 $, $ B...

Posted by 证毕QED on November 18, 2025

q-模拟和q-级数及其应用

整数分拆, 雅可比三重积恒等式, 罗杰斯-拉马努金恒等式等

q-模拟基础若无特殊说明, 以下内容均在形式幂级数环 $ \mathbb{C}[[q]] $ 中讨论, 仅在必要时对 $ q $ 取特定值并讨论其收敛性. 定义(q-整数) 对于非负整数 $ n $, q-整数定义为: $$ [n]_q = 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}, $$ ...

Posted by 证毕QED on November 17, 2025

直积分

设 $X$ 是一个集合, $\mathscr F$ 是 $X$ 上的一个 $\sigma$-代数, $\mu$ 是其上的 $\sigma$-有限测度, 对于 $X$ 中的每个点 $x$, 都指定一个复希尔伯特空间 $\mathcal H_x$, 其上的内积记作 $(\cdot,\cdot)x$, 内积诱导的范数记作 $|\cdot|_x$, 这样得到的集合 $\{\mathcal H_x\}...

Posted by 证毕QED on October 27, 2025