证毕QED

测度论

实数集上的勒贝格测度定义开区间 $I$ 的长度 $m(I)$ 定义为 $$ m(I) = \begin{cases} b - a, & I = (a, b), a, b \in \mathbb{R} , a < b, \\ 0, & I = \emptyset, \\ +\infty, & I = (-\infty, a) \...

Posted by 证毕QED on December 7, 2025

哑演算

多项式列设 $\{p_n(x)\}_{n=0}^\infty$ 是一列 $\mathbb{C}[x]$ 中的多项式, 以后我们说的多项式列都要求有 $ \deg p_n=n $, 即第 $ n $ 个多项式的次数恰好为 $ n $, 其中当 $ n=0 $ 时解释为非零常函数 ($ p(x)=0 $ 的次数通常定义为负无穷). 显然这样的一列多项式组成线性空间 $ \mathbb{C}[...

Posted by 证毕QED on November 21, 2025

伯努利数

基础定义和性质定义(伯努利数) 伯努利数定义为以函数 $$ \frac{z}{e^z-1} $$ 为生成函数的数列, 即有幂级数 $$ \frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty B_{n}\frac{z^n}{n!}, $$ 上式在复数 $ |z|<2\pi $ 时收敛, 其中 $ B_n $ 称为伯努利数. $ B_0 = 1 $, $ B...

Posted by 证毕QED on November 18, 2025

q-模拟和q-级数及其应用

整数分拆, 雅可比三重积恒等式, 罗杰斯-拉马努金恒等式等

q-模拟基础若无特殊说明, 以下内容均在形式幂级数环 $ \mathbb{C}[[q]] $ 中讨论, 仅在必要时对 $ q $ 取特定值并讨论其收敛性. 定义(q-整数) 对于非负整数 $ n $, q-整数定义为: $$ [n]_q = 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}, $$ ...

Posted by 证毕QED on November 17, 2025

直积分

设 $X$ 是一个集合, $\mathscr F$ 是 $X$ 上的一个 $\sigma$-代数, $\mu$ 是其上的 $\sigma$-有限测度, 对于 $X$ 中的每个点 $x$, 都指定一个复希尔伯特空间 $\mathcal H_x$, 其上的内积记作 $(\cdot,\cdot)x$, 内积诱导的范数记作 $|\cdot|_x$, 这样得到的集合 $\{\mathcal H_x\}...

Posted by 证毕QED on October 27, 2025

泛代数与泛代数几何

本文原为泛代数学习笔记, 后来作为大三代数几何课程的期末论文上交. 泛代数基础基础构造定义(笛卡尔积) 设 $I$ 是指标集, 对于每个 $i \in I$, $A_i$ 是一个集合, 集合族 $\{A_i\}_{i \in I}$ 的笛卡尔积, $\prod_{i \in I} A_i$, 定义为 $$ \prod_{i \in I} A_i = \{f \mid f\c...

Posted by 证毕QED on May 13, 2025

米林级数

Millin’s series

以下用 $ F_n $ 表示第 $ n $ 个斐波那契数, $ F_0=0 $, $ F_1=1 $, $ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} $, $ n>1 $. 米林级数是指: 定理(Millin, Good) $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{F_{2^n}}=\frac{7-\sqrt{5}}{2}. $$ 引理1 $$ F_{n+1...

Posted by 证毕QED on March 23, 2025

希尔伯特第三问题

希尔伯特第三问题是关于多面体剪贴的问题, 希尔伯特问道, 当两个多面体体积相同时, 是否可以通过剪贴其中一个多面体, 使其与另一多面体全等, 该问题在1900年即被希尔伯特的学生邓恩解决, 成为希尔伯特23个问题中最快解决的一个. 2维的情形首先来定义剪贴, 剪贴是裁剪和拼贴的简称, 一个多边形的裁剪定义为用一条直线将其分成两个不重合的部分, 两个多边形的拼贴定义为使两个多边形不重叠地...

Posted by 证毕QED on January 1, 2025

素数通项公式

本文我们将讨论几种素数通项公式, 即$p(n)=p_n$为第$n$个素数, 这里我们认为$1$不是素数. 按照习惯, 我们记$p_k$为第$k$个素数, 记$\pi(n)$为小于等于$n$的素数个数, 记$\chi(n)$为素数数列的特征函数, 即 \[\chi(n)= \left\{\begin{matrix} 1, & \text{n为素数};\\ 0, &am...

Posted by 证毕QED on August 19, 2023

对数平均值的多元推广

我们用 $L(a,b)$ 表示非负实数 $a$ 和 $b$ 的对数平均值, 其定义为 \[L(a,b)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y},\] 即 \[L(a,b)=\left\{\begin{matrix} a, & \text{ 若 } a=b; \\ \dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}, &am...

Posted by 证毕QED on August 19, 2023