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希尔伯特第三问题

希尔伯特第三问题是关于多面体剪贴的问题, 希尔伯特问道, 当两个多面体体积相同时, 是否可以通过剪贴其中一个多面体, 使其与另一多面体全等, 该问题在1900年即被希尔伯特的学生邓恩解决, 成为希尔伯特23个问题中最快解决的一个. 2维的情形首先来定义剪贴, 剪贴是裁剪和拼贴的简称, 一个多边形的裁剪定义为用一条直线将其分成两个不重合的部分, 两个多边形的拼贴定义为使两个多边形不重叠地...

Posted by 证毕QED on January 1, 2025

素数通项公式

本文我们将讨论几种素数通项公式, 即$p(n)=p_n$为第$n$个素数, 这里我们认为$1$不是素数. 按照习惯, 我们记$p_k$为第$k$个素数, 记$\pi(n)$为小于等于$n$的素数个数, 记$\chi(n)$为素数数列的特征函数, 即 \[\chi(n)= \left\{\begin{matrix} 1, & \text{n为素数};\\ 0, &am...

Posted by 证毕QED on August 19, 2023

对数平均值的多元推广

我们用 $L(a,b)$ 表示非负实数 $a$ 和 $b$ 的对数平均值, 其定义为 \[L(a,b)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y},\] 即 \[L(a,b)=\left\{\begin{matrix} a, & \text{ 若 } a=b; \\ \dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}, &am...

Posted by 证毕QED on August 19, 2023

如何将分段函数写成不分段的形式

绝对值函数一般定义为分段函数 \[\lvert x \rvert=\left\{\begin{matrix}x, & x \ge 0; \\-x, & x < 0\end{matrix}\right.\] 我们可以使用 $\lvert x\rvert=\sqrt{x^2}$ 将其用不分段的形式表示出来, 如果给出其它更多的分段函数, 如何将其写成不分段的形式? 比...

Posted by 证毕QED on August 19, 2023

Yoneda 引理证明 Cayley 定理

Cayley定理是说: 定理任意一个群 $ G $, 都同构于置换群 $ S_n $ 的子群, 其中 $ n=\left|G\right| $. 而Yoneda引理则是范畴论中一个结论, 下面我们将会看到, Yoneda引理可以看作Cayley定理的推广. 我们用大写字母 $ C $ 表示范畴, $ \mathrm{Ob}(C) $ 表示 $ C $ 的所有对象组成的类, ...

Posted by 证毕QED on August 16, 2023

FOOLPROOF：数学民间幽默选录

（翻译）

原文: Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor，作者是Paul Renteln and Alan Dundes。在被称为民俗学的学科[D1]（民俗学的研究）中，民间团体的定义是任何至少由一个共同因素相联系的群体。这个因素可以是国籍、民族、宗教或职业。某一职业的成员也可以被称为一个民间团体。因此，数学家就构成了一个民间群体。...

Posted by 证毕QED on March 24, 2023

代数基本定理

高斯的第一个证明

著名的代数基本定理指, 在 $ \mathbb{C}[x] $ 中, 每一个复系数 $ n>0 $ 次多项式(已化为首一多项式) \[f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0\] 都有 $ n $ 个复根, $ k $ 重根按 $ k $ 个根算. 证明代数基本定理只需要证明 $ n>0 $ 次多项式有一个根...

Posted by 证毕QED on January 1, 2020