2026.02.21 经典特殊函数 本文专注于一般分析学中常见的特殊函数, 尤其是在Wolfram计算中经常出现的特殊函数, 而不关注一些专门分支中的特殊函数, 例如椭圆函数, 数论中的特殊函数, 物理中的特殊函数等. Gamma函数 ⋯ 函数起源于阶乘的推广. 定义(Gamma函数) 该积分在右半平面内绝对收敛, 并且 ⋯ , 利用函数方程 ⋯ ... 分析
2026.02.12 克利福德代数 定义 定义(二次型) 设 R 是一个交换环, M 是一个 R -模, 映射 ⋯ 如果满足以下条件, 则称 q 是 M 上的一个二次型: 1, ⋯ , ⋯ , 都有 ⋯ ; 2, ⋯ , 都有 ⋯ ; 3, ⋯ , ⋯ , 都有 ⋯ . 条件中等价于说 ⋯ 是一个 R -对称双线性型, 事实上, 如果 R 的特征不... 代数·几何
2026.01.25 序与格 序 序结构 序结构一般指一个集合 X 连带其上一个二元关系 ⋯, 该关系一般可以满足以下条件中的若干个. 自反性: ⋯, ⋯; 传递性: ⋯, 若 ⋯ 且 ⋯, 则 ⋯; 反称性: ⋯, 若 ⋯ 且 ⋯, 则 x=y; 滤过性: ⋯, ⋯, 满足 ⋯ 且 ⋯; 线序性: ⋯, ⋯ 与 ⋯ 二者至少成立一个; 良基... 序论·格论·代数
2026.01.11 椭圆积分 为椭圆函数和椭圆曲线提供背景 本文主要介绍椭圆积分理论基础, 主要目的是为椭圆函数论和椭圆曲线论提供背景, 因此省略椭圆积分理论的大部分计算性内容和严谨的分析学内容. 椭圆积分 椭圆周长 椭圆积分起源于求解椭圆周长问题. 不妨设椭圆方程为 椭圆积分·椭圆曲线·椭圆函数
2025.12.25 魏尔斯特拉斯函数 由高中时笔记修改而来. 定义(魏尔斯特拉斯函数) 魏尔斯特拉斯函数定义为 其中 ⋯ , b 是正奇数, 并且满足 ⋯ . 魏尔斯特拉斯证明了该函数是良定的, 并且在实数轴上处处连续但处处不可导, 这种情况的证明比较容易. 定理(魏尔斯特拉斯) W(x) 在 ⋯ 上处处连续但处处不可导. 证明 首先证明函数良定. ... 分析
2025.12.07 测度论 实数集上的勒贝格测度 定义 开区间 I 的长度 m(I) 定义为 显然 m 的值域是 ⋯, 右边的方括号代表有可能取到无穷大. 实数集中的任意开集都可以表示为无交的开区间的并, 比如 ⋯, 定义 ⋯. 对于任意非空闭集 G, 取任意包含 G 的开区间 (a,b), 定义 ⋯, 其中集合间减号为差集. 定义(外测度... 分析
2025.11.21 哑演算 多项式列 设 ⋯ 是一列 ⋯ 中的多项式, 以后我们说的多项式列都要求有 ⋯, 即第 n 个多项式的次数恰好为 n, 其中当 n=0 时解释为非零常函数 (p(x)=0 的次数通常定义为负无穷). 显然这样的一列多项式组成线性空间 ⋯ 的一组基. 定义(二项式型多项式列) 设 ⋯ 是一列多项式, 如果它们满足以下... 代数
2025.11.18 伯努利数 基础定义和性质 定义(伯努利数) 伯努利数定义为以函数 为生成函数的数列, 即有幂级数 上式在复数 ⋯ 时收敛, 其中 B_n 称为伯努利数. B_0 = 1, ⋯, ⋯, B_3 = 0, ⋯. 定义(伯努利多项式) 在形式幂级数环 ⋯ 中, 生成函数 中 B_n(x) 称为伯努利多项式, 显然有 ⋯. 伯努利... 数论
2025.11.17 q-模拟和q-级数及其应用 整数分拆, 雅可比三重积恒等式, 罗杰斯-拉马努金恒等式等 q-模拟基础 若无特殊说明, 以下内容均在形式幂级数环 ⋯ 中讨论, 仅在必要时对 q 取特定值并讨论其收敛性. 定义(q-整数) 对于非负整数 n, q-整数定义为: 特别地, ⋯. 当 ⋯ 时, ⋯, 即退化为普通整数. 定义(q-阶乘) 对于非负整数 n, q-阶乘定义为q-整数的乘积: 其中约定 ⋯. 其... 数论·组合
2025.10.27 直积分 设 X 是一个集合, ⋯ 是 X 上的一个 ⋯-代数, ⋯ 是其上的 ⋯-有限测度, 对于 X 中的每个点 x, 都指定一个复希尔伯特空间 ⋯, 其上的内积记作 ⋯, 内积诱导的范数记作 ⋯, 这样得到的集合 ⋯ 称为 X 上的一个 复希尔伯特空间场 或简称为 希尔伯特空间场. 设 ⋯, 其中的元素即为 ⋯ 且满... 分析·抽象调和分析