希尔伯特第三问题是关于多面体剪贴的问题, 希尔伯特问道, 当两个多面体体积相同时, 是否可以通过剪贴其中一个多面体, 使其与另一多面体全等, 该问题在1900年即被希尔伯特的学生邓恩解决, 成为希尔伯特23个问题中最快解决的一个.
2维的情形
首先来定义剪贴, 剪贴是裁剪和拼贴的简称, 一个多边形的裁剪定义为用一条直线将其分成两个不重合的部分, 两个多边形的拼贴定义为使两个多边形不重叠地拥有一条或多条公共边.
定理(Wallace–Bolyai–Gerwien定理)
任何两个等面积的多边形都可以通过剪贴互相得到.
证明可见《思考的乐趣 Matrix67数学笔记》第25节.
3维的情形和邓恩不变量
对于三维的情况, 多面体的裁剪定义为用一个平面将一个多面体分成两个不重叠的部分, 拼贴则是使两个多面体不重叠地拥有一条或多条公共面.
定义(邓恩不变量)
设多面体 $X$ 各棱长度为 $\ell_1,\cdots,\ell_e$, 每条棱都与两个面相接, 这两个面二面角的角度分别为 $\theta_1,\ldots,\theta_e$, 则多面体 $X$ 的邓恩不变量定义为两个 $\mathbb{Z}$-模的张量积 $\mathbb{R}\otimes\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$ 里的元素
$$
\sum_{i=1}^e\ell_i\otimes\theta_i.
$$
定理
剪贴不改变邓恩不变量.
定理
两个等体积的多面体可能无法通过剪贴一个得到另一个.
证明
任意正方体 $[a,b]^3$ 的邓恩不变量为 $12(b-a)\otimes\frac{\pi}{2}=(b-a)\otimes6\pi=(b-a)\otimes0=0$, 而以 $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$ 为顶点的八面体的邓恩不变量为 $24\sqrt{2}\otimes\arctan\sqrt{2}$, 可以证明 $\frac{\arctan\sqrt{2}}{\pi}$ 是无理数, 从而知 $24\sqrt{2}\otimes\arctan\sqrt{2}\neq0$, 故该八面体与其等体积的正方体不能通过剪贴得到对方.
实际上, 有以下定理.
定理(Dhen-Sydler定理)
任意两个多面体可以通过剪贴得到对方的充要条件是它们有相同的体积和邓恩不变量.