本文中线性空间的标量域均为实数域或复数域.
函数收敛
最基础的收敛性即逐点收敛.
定义(逐点收敛)
设 $X$ 是一个非空集合, $Y$ 是一个非空的拓扑空间, $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的函数列, 若存在函数 $f\colon X\to Y$, 对任意一点 $x\in X$ 和任意一个包含 $f(x)$ 的开邻域 $U \subseteq Y$, 都存在一个正整数 $N = N(x, U)$, 使得当 $n > N$ 时, $f_n(x) \in U$, 就称 $f_n$ 逐点收敛到 $f$, 记为 $\lim_{n\to\infty}f_n=f$ 或 $f_n\to f$.
若 $Y$ 是度量空间, 设其上度量为 $d$, 则可以引入一致收敛这一更强的收敛性.
定义(一致收敛)
设 $X$ 是一个非空集合, $(Y,d)$ 是一个非空的度量空间, $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的函数列, 若存在函数 $f\colon X\to Y$, 对任意的正数 $ \varepsilon > 0$, 存在正整数 $ N $, 使得对任意 $x \in X$, 当 $n > N$ 时, 都有 $d(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$, 则称 $f_n$ 一致收敛到 $f$, 记为 $f_n \rightrightarrows f$.
度量空间只是所谓一致空间的特例, 一致收敛概念可以推广到更抽象的一致空间上, 本文不涉及这部分内容, 可参见本网站《序与格》一文中的收敛理论部分. 度量空间上的一致收敛显然蕴含逐点收敛.
泛函分析中更常见的是 $Y$ 为赋范线性空间, 则范数 $|\cdot|$ 诱导了距离 $d(x,y)=|x-y|$ 使其成为度量空间.
当 $X$ 和 $Y$ 是某些性质良好的空间时, 可以使从 $X$ 到 $Y$ 的某些函数组成的集合构成一个赋范线性空间.
定义(依范数收敛)
设 $(L,\|\cdot\|)$ 是赋范线性空间, $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ 是 $L$ 中的序列, 若存在 $f\in L$, 使得对任意的正数 $ \varepsilon > 0$, 存在正整数 $ N $, 当 $n > N$ 时, 都有 $\|f_n-f\|<\varepsilon$, 则称 $f_n$ 依范数收敛到 $f$, 或强收敛到 $f$, 记为 $f_n \xrightarrow{s} f$.
依范数收敛无非是赋范线性空间中的点列收敛, 对于函数空间来说, 常见范数有上确界范数
\[\displaylines{ \|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f(x)| }\]
等, 上确界范数也叫一致范数或无穷范数, 函数的依上确界范数收敛和一致收敛是同一回事. $f$ 是算子时也叫按一致算子拓扑收敛, 详见第三节.
定义(弱收敛)
假设 $(L,\|\cdot\|)$ 是赋范线性空间, $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ 是 $L$ 中的序列, 若存在 $f\in L$, 使得对每个线性泛函 $l\in L^*$, 都有标量域中的逐点收敛
$$
\displaylines{ \lim_{n\to\infty}l(f_n)=l(f), }
$$
则称 $f_n$ 弱收敛到 $f$, 记为 $f_n \xrightarrow{w} f$.
依范数收敛蕴含弱收敛.
也可为 $X$ 添加结构, 假设 $(X,\mathscr{M},\mu)$ 是测度空间, 有以下收敛性.
定义(几乎处处收敛)
设 $(X, \mathscr{M}, \mu)$ 是测度空间, $(Y,\mathscr{N})$ 是可测空间, $\{f_n\}$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的可测函数列, 若存在可测函数 $f\colon X\to Y$ 和一个零测集 $N \in \mathscr{M}$, 使得在 $X - N$ 上, 序列 $\{f_n(x)\}$ 逐点收敛到 $f(x)$, 则称 $\{f_n\}$ 几乎处处收敛到 $f$, 记为 $f_n \xrightarrow{a.e.} f$.
显然逐点收敛强于几乎处处收敛.
定义(依测度收敛)
设 $(X, \mathscr{M}, \mu)$ 是测度空间, $(Y,d)$ 是度量空间, 其上 $\sigma$-代数取博雷尔代数, $\{f_n\}$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的可测函数列, 若存在可测函数 $f\colon X\to Y$, 对于任意的正数 $\varepsilon > 0$, 都有
$$
\displaylines{ \lim_{n\to\infty} \mu(\{x \in X : d(f_n(x), f(x)) \ge \varepsilon\}) = 0, }
$$
则称 $\{f_n\}$ 依测度收敛到 $f$, 记为 $f_n \xrightarrow{\mu} f$.
$\mu(X)$ 有限时, 几乎处处收敛强于依测度收敛.
定义(几乎一致收敛)
设 $(X, \mathscr{M}, \mu)$ 是测度空间, $(Y,d)$ 是度量空间, 其上 $\sigma$-代数取博雷尔代数, $\{f_n\}$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的可测函数列, 若存在可测函数 $f\colon X\to Y$, 对于任意的正数 $\delta > 0$, 存在可测集 $E \subseteq X$ 使得 $\mu(E) < \delta$, 且在 $X - E$ 上, $\{f_n\}$ 一致收敛于 $f$, 则称 $\{f_n\}$ 几乎一致收敛到 $f$.
几乎一致收敛显然强于几乎处处收敛, 而叶果罗夫定理表明, 当 $\mu(X)$ 有限且 $Y$ 可分时, 几乎一致收敛与几乎处处收敛等价.
泛函收敛
本节假设 $X$ 是赋范线性空间, $f\in X^*$ 是有界线性泛函.
定义(泛函的算子范数)
定义 $\|f\|$ 为满足 $|f(x)|\le M\|x\|$ 对任意 $x\in X$ 都成立的最小 $M$, 等价的说,
$$
\displaylines{ \|f\| = \sup_{\|x\|\le1}\frac{|f(x)|}{\|x\|}=\sup_{\|x\|=1}|f(x)|. }
$$
定义(强收敛)
设 $\{f_n\} $ 是赋范线性空间 $X$ 中有界线性泛函列, 若存在有界线性泛函 $f$, 使得
$$
\displaylines{ \lim_{n \to \infty} \|f_n - f\| = 0, }
$$
则称 $\{f_n\}$ 强收敛于 $f$.
这显然只是 $X^*$ 中依范数收敛.
定义(弱$^*$收敛)
设 $\{f_n\} $ 是赋范线性空间 $X$ 中有界线性泛函列, 若存在有界线性泛函 $f$, 使得对所有 $x \in X$, 都有
$$
\displaylines{ f_n(x) \to f(x), }
$$
则称 $\{f_n\}$ 弱$^*$收敛于 $f$, 记为 $f_n \xrightarrow{w^*} f$.
当 $X$ 是自反的时候, 即 $X^{**}\cong X$ 时, 典范同构为 $x\mapsto x^{**}$, $x^{**}(f)=f(x)$, 于是自反赋范线性空间上有界线性泛函的弱$^*$收敛就是弱收敛. 而一般而言, 弱$^*$收敛比弱收敛更弱.
顺带介绍与之相关的弱拓扑和弱$^*$拓扑.
定理(由映射生成的拓扑)
假设 $X$ 是非空集合, $Y$ 是拓扑空间, $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 是一族映射, 其中 $I$ 是指标集, 则由开集族
$$
\displaylines{ \{f_\alpha^{-1}(U):\alpha\in I,U \text{ 是 } Y \text{ 中开集}\} }
$$
生成的 $X$ 上的拓扑是使得 $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 中函数均连续的最弱拓扑 (最粗拓扑). 并且, 设 $\{x_d\}_{d\in\Lambda}$ 是 $X$ 中网, 则该网收敛当且仅当对任意 $\alpha$, $Y$ 中网 $\{f_\alpha(x_d)\}_{d\in\Lambda}$ 均收敛.
定义(弱拓扑)
设 $X$ 是赋范线性空间, $X$ 上弱拓扑是使得所有 $f\in X^*$ 都连续的最弱拓扑.
显然弱拓扑比通常的范数拓扑弱, 弱拓扑中序列的收敛即为弱收敛.
定义(弱$^*$拓扑)
设 $X$ 是赋范线性空间, $X^*$ 上弱$^*$拓扑是使得所有 $x^{**}$, $x\in X$ 都连续的最弱拓扑.
弱$^*$拓扑上连续函数的逐点收敛即为弱$^*$收敛. 赋范线性空间 $X^*$ 上自然也可以定义弱拓扑, 由于一般而言 $X^{**}$ 比 $X$ 大, 所以弱$^*$拓扑比弱拓扑更弱, 除非 $X$ 自反时, 二者同胚.
算子收敛
本节假设 $X$ 和 $Y$ 是赋范线性空间, $L(X,Y)$ 是所有从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子组成的线性空间.
定义(算子范数)
设 $T\in L(X,Y)$, 定义 $\|T\|$ 为满足 $\|T(x)\|\le M\|x\|$ 对任意 $x\in X$ 都成立的最小 $M$, 等价的说,
$$
\displaylines{ \|T\| = \sup_{\|x\|\le1}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|. }
$$
定义(一致算子拓扑收敛)
设 $\{T_n\}$ 是 $L(X,Y)$ 中一列有界线性算子, 若存在 $T\in L(X,Y)$, 使得
$$
\displaylines{ \lim_{n\to\infty}\|T_n-T\|=0, }
$$
则称 $\{T_n\}$ 按一致算子拓扑收敛到 $T$, 或按算子范数收敛到 $T$.
显然这无非是 $L(X,Y)$ 中的依范数收敛.
定义(一致算子拓扑)
上述定义的算子范数使得 $L(X,Y)$ 成为一个赋范向量空间, 而该范数诱导的拓扑就称为一致算子拓扑.
定义(强收敛)
设 $\{T_n\}$ 是 $L(X,Y)$ 中一列有界线性算子, 若存在 $T\in L(X,Y)$, 使得对任意 $x\in X$ 有
$$
\displaylines{ \lim_{n\to\infty}\|T_n(x)-T(x)\|=0, }
$$
则称 $\{T_n\}$ 按强算子拓扑收敛到 $T$, 或强收敛到 $T$.
需要注意强收敛的含义, 将算子看做赋范线性空间 $L(X,Y)$ 中元素时, $L(X,Y)$ 中的强收敛(依范数收敛)对应一致算子拓扑收敛, 而算子强收敛之所以还叫强收敛, 是因为它等价于对每个固定的 $x\in X$, 其像组成的序列 $T_n(x)$ 均在 $Y$ 中强收敛(依范数收敛).
定义(弱收敛)
设 $\{T_n\}$ 是 $L(X,Y)$ 中一列有界线性算子, 若存在 $T\in L(X,Y)$, 使得对任意 $x\in X$ 和任意线性泛函 $l \in Y^*$ 有
$$
\displaylines{ \lim_{n\to\infty}l(T_n(x))=l(T(x)), }
$$
则称 $\{T_n\}$ 按弱算子拓扑收敛到 $T$, 或弱收敛到 $T$.
与强收敛类似, 算子弱收敛之所以叫弱收敛, 是因为它等价于对每个固定的 $x\in X$, 其像组成的序列 $T_n(x)$ 均在 $Y$ 中弱收敛.
定义(强拓扑)
对每个 $x\in X$, 定义从 $L(X,Y)$ 到 $Y$ 的线性算子 $T\mapsto T(x)$, 使得所有这样的线性算子均连续的最弱拓扑称为 $L(X,Y)$ 上的强拓扑.
定义(弱拓扑)
对每个 $x\in X$ 和 $l\in Y^*$, 定义 $L(X,Y)$ 上的线性泛函 $T\mapsto l(T(x))$, 使得所有这样的线性泛函均连续的最弱拓扑称为 $L(X,Y)$ 上的弱拓扑.
显然强拓扑下 $L(X,Y)$ 中的序列收敛就是算子强收敛, 弱拓扑下 $L(X,Y)$ 中的序列收敛就是算子弱收敛.
算子空间中也有弱$^*$拓扑, 只是比较特殊.
定义(弱$^*$拓扑)
对每个 $x\in X$ 和 $y\in Y$, 定义 $L(X,Y^*)$ 上的线性泛函 $T\mapsto y^{**}(T(x))=T(x)(y)$, 使得所有这样的线性泛函均连续的最弱拓扑称为 $L(X,Y^*)$ 上的弱$^*$拓扑.
弱$^*$拓扑中的序列收敛也可以看做弱$^*$收敛, $L(X,Y^*)$ 上显然也可以定义弱拓扑, 与泛函情形类似, 弱$^*$拓扑比弱拓扑更弱, 除非 $Y$ 自反时, 二者同胚.
定理
定义映射 $\varphi\colon L(X,Y^*)\to L(Y,X^*)$, $T\mapsto \varphi(T)$,
$$
\displaylines{ \varphi(T)(y)\colon X\to k \\ x\mapsto T(x)(y) }
$$
其中 $k$ 是标量域, 则 $\varphi$ 是弱$^*$拓扑空间之间的同胚.
证明: 由于 $X$ 与 $Y$ 在定理中是对称的, 则可以类似的定义映射 $\psi\colon L(Y,X^*)\to L(X,Y^*)$, 并且显然是 $\varphi$ 的逆映射. 由弱$^*$拓扑的定义可知 $L(Y,X^*)$ 中算子网收敛 $T_\alpha\to T$ 当且仅当对任意 $x\in X$ 和 $y\in Y$, 标量网收敛 $T_\alpha(x)(y)\to T(x)(y)$, 而这又等价于 $L(X,Y^*)$ 中算子网收敛 $\varphi(T_\alpha)\to \varphi(T)$, 故 $\varphi$ 是连续的, 由对称性知 $\psi$ 也同样连续, 故是同胚.
显然一致算子拓扑细于强拓扑细于弱拓扑, 若定义在 $L(X,Y^*)$ 上, 则一致算子拓扑细于强拓扑细于弱拓扑细于弱$^*$拓扑.