我们用 $L(a,b)$ 表示非负实数 $a$ 和 $b$ 的对数平均值, 其定义为
\[L(a,b)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y},\]
即
\[L(a,b)=\left\{\begin{matrix}
a, & \text{ 若 } a=b; \\
\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}, & \text{ 若 } a\neq b.
\end{matrix}\right.\]
对数平均值有性质:
定理1(算数-对数-几何平均值不等式)
若 $a$, $b\ge0$, 则有
$$
\sqrt{ab}\le \dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}\le \dfrac{a+b}{2}.
$$
该不等式在各类习题和研究中有许多应用.
多元对数平均值
对数平均值可以使用积分代替极限来表示, 即
\[L(a,b)=\int_0^1 a^tb^{1-t}\mathrm{d} t,\]
显然, $a\neq b$时,
\[\int_0^1 a^tb^{1-t}\mathrm{d} t
=b\int_0^1\left(\dfrac{a}{b}\right)^t\mathrm{d} t
=\dfrac{b}{\ln\dfrac{a}{b}}\left(\dfrac{a}{b}-1\right)
=\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b},\]
$a=b$时,
\[\int_0^1 a^tb^{1-t}\mathrm{d} t
=b\int_0^1\mathrm{d} t
=b.\]
利用这个积分表示方法, 我们可以将对数平均值推广到多元形式. 我们设
\[S^{n-1}=\left\{(x_1,\cdots,x_{n-1})\in\mathbb R^{n-1}:\sum_{k=1}^{n-1} x_k\le 1, \forall i,x_i\ge0\right\},\]
再设 $x_n=1-x_1-\cdots-x_{n-1}$, 定义 $n$ 个数 $ a_1,\cdots,a_n$ 的对数平均值为
\[L( a_1,\cdots,a_n)=(n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x,\]
这里 $\mathrm{d} x$ 表示 $\mathrm{d} x_1\cdots\mathrm{d} x_{n-1}$.
当 $n=2$ 时即为
\[\int_0^1 a_1^{x_1}a_2^{1-x_1}\mathrm{d} x_1=\dfrac{a_1-a_2}{\ln a_1-\ln a_2},\]
$n=3$ 时即为
\[\displaylines{
2\int_{S^{2}} a_1^{x_1}a_2^{x_2}a_3^{x_3}\mathrm{d} x=2\int_{0}^1\int_0^{1-x_1} a_1^{x_1}a_2^{x_2}a_3^{1-x_1-x_2}\mathrm{d} x_2\mathrm{d} x_1 \\
=2\dfrac{a_1(\ln a_3-\ln a_2)+a_2(\ln a_1-\ln a_3)+a_3(\ln a_2-\ln a_1)}{(\ln a_1-\ln a_2)(\ln a_2-\ln a_3)(\ln a_3-\ln a_1)}.
}\]
以下定理说明了我们定义的合理性.
定理2
(a) 当 $a_1=\cdots=a_n$ 时, 有
$$
L( a_1,\cdots,a_n)=(n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x=a_1;
$$
(b) 设 $m=\min\{a_1 \cdots,a_n\}$, $M=\max\{a_1 \cdots,a_n\}$, 则有
$$
\displaylines{
m \le (n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x \le M.
}
$$
我们的定义还满足推广后的算数-对数-几何平均值不等式.
定理3(推广后的算数-对数-几何平均值不等式)
若 $ a_1,\cdots,a_n\ge0$, 则有
$$
\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\le (n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x\le \dfrac{\sum\limits_{i=1}^na_i}{n}.
$$
定理的证明
引理
设 $k$ 为正整数
$$
\int_{S^{k}}\mathrm{d} x=\dfrac{1}{k!},
$$
且对任意的 $1\le i\le k$ 有
$$
\int_{S^{k}}x_i\mathrm{d} x=\dfrac{1}{(k+1)!}.
$$
证明
由
$$
\int_{S^1}\mathrm{d} x=\int_0^1\mathrm{d} x=1
$$
和
和\begin{align*}
\int_{S^{k}} \mathrm{d} x_1\cdots\mathrm{d} x_{k-1}&=\int_0^1(1-x_{k-1})^{k-1}\left(\int_{S^{k-1}}\mathrm{d} x_1\cdots\mathrm{d} x_{k-2}\right)\mathrm{d} x_{k-1}\\
&=\dfrac{1}{k}\int_{S^{k-1}}\mathrm{d} x_1 \cdots\mathrm{d} x_{k-2}.
\end{align*}
即得引理的第一部分, 进而可得
\begin{align*}
&\ \ \ \ \int_{S^{k}}x_i \mathrm{d} x_1\cdots\mathrm{d} x_{k-1}\\&=
\int_0^1x_i(1-x_{i})^{k-1}\left(\int_{S^{k-1}}\mathrm{d} x_1 \cdots\mathrm{d} x_{i-1}\mathrm{d} x_{i+1}\cdots\mathrm{d} x_{k-1}\right)\mathrm{d} x_{i}\\
&=\dfrac{1}{k(k+1)}\int_{S^{k-1}}\mathrm{d} x_1 \cdots\mathrm{d} x_{i-1}\mathrm{d} x_{i+1}\cdots\mathrm{d} x_{k-1}\\
&=\dfrac{1}{(k+1)!}.
\end{align*}
引理得证.
定理2的证明
显然, 当 $a_1=\cdots=a_n$ 时, 有
\begin{align*}
(n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x
&=(n-1)!\int_{S^{n-1}}a_1^{x_1+\cdots+x_n}\mathrm{d} x\\
&=(n-1)!a_1\int_{S^{n-1}}\mathrm{d} x\\
&=a_1.
\end{align*}
其中最后一步是引理的结果, (a)得证. 再由
\begin{align*}
m&=(n-1)!\int_{S^{n-1}}m^{x_1+\cdots+x_n}\mathrm{d} x\le (n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x\\ &\le (n-1)!\int_{S^{n-1}}M^{x_1+\cdots+x_n}\mathrm{d} x= M,
\end{align*}
得到(b).
推广后的算数-对数-几何平均值不等式的证明
先证右半边, 由加权平均值不等式可知
$$
a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\le a_1x_1+\cdots+a_nx_n,
$$
再使用引理得到
\begin{align*}
(n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x&\le
(n-1)!\int_{S^{n-1}}a_1x_1+\cdots+a_nx_n\mathrm{d} x\\
&=(n-1)!\sum_{i=1}^n a_i\int_{S^{n-1}}x_i\mathrm{d} x\\
&=(n-1)!\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{n!}\\&= \dfrac{\sum\limits_{i=1}^na_i}{n}
\end{align*}
再证左半边, 由 $S^n$ 上积分形式的算数-几何平均值不等式可得,
\begin{align*}
(n-1)!\int_{S^{n-1}} a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n}\mathrm{d} x&\ge\exp\left((n-1)!\int_{S^{n-1}}\ln( a_1^{x_1}\cdots a_n^{x_n})\mathrm{d} x\right)\\
&=\exp\left((n-1)!\sum_{i=1}^n\ln a_i\int_{S^{n-1}} x_i\mathrm{d} x\right)\\
&=\exp\left((n-1)!\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\ln a_i}{n!}\right)\\
&=\exp\left(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\ln a_i}{n}\right)\\
&=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}.
\end{align*}
定理得证.
参考文献
[1] B. C. Carlson, Some Inequalities for Hypergeometric Functions, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 32–39.
[2] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, 1959.
[3] Roger B. Nelsen, Proof Without Words: The Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality, Mathematics Magazine 68 (1995), no. 4, 305–305.
[4] Edward Neuman, Inequalities Involving Multivariate Convex Functions. II, Proceedings of the American Mathematical Society 109 (1990), 965–965.
[5] Edward Neuman, The Weighted Logarithmic Mean, Journal of Mathematical Analysis and Applications 188 (1994), 885–900.