定义(魏尔斯特拉斯函数) 魏尔斯特拉斯函数定义为 $$ W(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x), $$ 其中 $a\in(0,1)$ , $b$ 是正奇数, 并且满足 $ab>1+\frac{3\pi}{2}$ .

定理(魏尔斯特拉斯) $W(x)$ 在 $\mathbb R$ 上处处连续但处处不可导.

证明 首先证明函数良定. 因为 $$ \sum_{n=0}^\infty \left|a^n\cos(b^n\pi x)\right|\le\sum_{n=0}^\infty a^n=\frac{1}{1-a}, $$ 由魏尔斯特拉斯判别法知级数一致收敛, 进而连续.
再证明函数处处不可导. 任取一固定实数 $x\in\mathbb R$ , 对任意正整数 $m$ , 令 $$ b^mx=\alpha_m+\varepsilon_m, $$ 其中 $\alpha_m$ 是距离 $b^mx$ 最近的整数, $-\frac{1}{2}\le\varepsilon_m\le\frac{1}{2}$ , 令 $$ h_m=\frac{1-\varepsilon_m}{b^m}, $$ 显然有 $$ 0<\frac{1}{2b^m}\le\frac{1-\varepsilon_m}{b^m}\le\frac{3}{2b^m}, $$ 令 $m\to\infty$ , 由夹逼定理得 $$ \lim_{m\to\infty}h_m=0, $$ 我们只需证明 $$ \lim_{m\to\infty}\frac{W(x+h_m)-W(x)}{h_m} $$ 不存在即可推出 $W$ 不可导.
因为 \begin{align*} &\frac{W(x+h_m)-W(x)}{h_m}=\sum_{n=0}^\infty a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}\\ =&\sum_{n=0}^{m-1} a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}+\sum_{n=m}^\infty a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}, \end{align*} 对于等式右边第一项, 由拉格朗日中值定理知存在 $\xi\in(0,h_m)$ , $$ |\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)|=|h_m||b^n\pi\sin(b^n\pi(x+\xi))|\le b^n\pi|h_m|, $$ 因此 $$ \left|\sum_{n=0}^{m-1} a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}\right|\le\sum_{n=0}^{m-1}a^nb^n\pi=\frac{\pi (a^mb^m-1)}{ab-1}<\frac{\pi a^mb^m}{ab-1}. $$
对于第二项, 因为 $$ b^n\pi (x+h_m)=b^{n-m}\pi(b^mx+b^mh_m)=b^{n-m}\pi(\alpha_m+\varepsilon_m+1-\varepsilon_m)=b^{n-m}\pi(\alpha_m+1), $$ 而 $b^{n-m}$ 是奇数, 则 $$ \cos(b^{n-m}\pi(\alpha_m+1))=(-1)^{\alpha_m+1}. $$ 又因为 \begin{align*} \cos(b^n\pi x)&=\cos(b^{n-m}\pi(\alpha_m+\varepsilon_m))\\ &=\cos(b^{n-m}\pi\alpha_m)\cos(b^{n-m}\pi\varepsilon_m)-\sin(b^{n-m}\pi\alpha_m)\sin(b^{n-m}\pi\varepsilon_m)\\ &=(-1)^{\alpha_m}\cos(b^{n-m}\pi\varepsilon_m), \end{align*} 则 \begin{align*} \sum_{n=m}^\infty a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}&=\sum_{n=m}^\infty a^n\frac{(-1)^{\alpha_m+1}-(-1)^{\alpha_m}\cos(b^{n-m}\pi\varepsilon_m)}{h_m}\\ &=\sum_{n=m}^\infty a^n\frac{(-1)^{\alpha_m+1}(1+\cos(b^{n-m}\pi\varepsilon_m))}{h_m}\\ &=\frac{(-1)^{\alpha_m+1}}{h_m}\sum_{n=m}^\infty a^n(1+\cos(b^{n-m}\pi\varepsilon_m)), \end{align*} 显然 $a^n(1+\cos(b^{n-m}\pi\varepsilon_m))\ge0$ , 因此 $$ \left|\frac{(-1)^{\alpha_m+1}}{h_m}\sum_{n=m}^\infty a^n(1+\cos(b^{n-m}\pi\varepsilon_m))\right|\ge\frac{a^m}{h_m}(1+\cos(\pi\varepsilon_m)), $$ 由 $-\frac{\pi}{2}\le\pi\varepsilon_m\le\frac{\pi}{2}$ 知 $\cos(\pi\varepsilon_m)\ge0$ ) , 故 $$ \left|\sum_{n=m}^\infty a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}\right|\ge\frac{a^m}{h_m}\ge\frac{2a^mb^m}{3}. $$
综上, \begin{align*} \frac{2a^mb^m}{3}\le&\left|\sum_{n=m}^\infty a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}\right|\\ =&\left|\frac{W(x+h_m)-W(x)}{h_m}-\sum_{n=0}^{m-1} a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}\right| &\\ \le&\left|\frac{W(x+h_m)-W(x)}{h_m}\right|+\left|\sum_{n=m}^\infty a^n\frac{\cos(b^n\pi (x+h_m))-\cos(b^n\pi x)}{h_m}\right|\\ <&\left|\frac{W(x+h_m)-W(x)}{h_m}\right|+\frac{\pi a^mb^m}{ab-1}, \end{align*} 则 $$ \left|\frac{W(x+h_m)-W(x)}{h_m}\right|>\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{ab-1}\right)a^mb^m, $$ 由 $ab>1+\frac{3\pi}{2}$ 知 $\frac{2}{3}-\frac{\pi}{ab-1}>0$ , 因此 $$ \lim_{m\to\infty}\left|\frac{W(x+h_m)-W(x)}{h_m}\right|\ge\lim_{m\to\infty}\left(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{ab-1}\right)a^mb^m=+\infty, $$ 由于 $x$ 是任意取的, 则 $W(x)$ 在 $\mathbb R$ 上处处不可导.

定理(哈代) 设 $a\in(0,1)$ , $b>1$ , 且满足 $ab\ge1$ , 则函数 $$ C(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), $$ $$ S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \sin(b^n \pi x), $$ 均在 $\mathbb R$ 上处处连续 but 处处不可导.

定理(沈维孝) 设 $\phi$ 是一个定义在实数轴上的周期函数, 并且有连续的二阶导数, 对于任意大于 $1$ 的整数 $b$ , 存在只依赖于 $\phi$ 和 $b$ 的常数 $K>1$ , 则对任意满足 $1<ab<K$ 的 $a$ , 函数 $$ \sum_{n=0}^\infty a^n\phi(b^nx) $$ 图像的豪斯多夫维数为 $$ 2+\frac{\ln a}{\ln b}. $$