证毕QED

如何将分段函数写成不分段的形式

绝对值函数一般定义为分段函数 \[\lvert x \rvert=\left\{\begin{matrix}x, & x \ge 0; \\-x, & x < 0\end{matrix}\right.\] 我们可以使用 $\lvert x\rvert=\sqrt{x^2}$ 将其用不分段的形式表示出来, 如果给出其它更多的分段函数, 如何将其写成不分段的形式? 比...

Posted by 证毕QED on August 19, 2023

Yoneda 引理证明 Cayley 定理

Cayley定理是说: 定理任意一个群 $ G $, 都同构于置换群 $ S_n $ 的子群, 其中 $ n=\left|G\right| $. 而Yoneda引理则是范畴论中一个结论, 下面我们将会看到, Yoneda引理可以看作Cayley定理的推广. 我们用大写字母 $ C $ 表示范畴, $ \mathrm{Ob}(C) $ 表示 $ C $ 的所有对象组成的类, ...

Posted by 证毕QED on August 16, 2023

FOOLPROOF：数学民间幽默选录

（翻译）

原文: Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor，作者是Paul Renteln and Alan Dundes。在被称为民俗学的学科[D1]（民俗学的研究）中，民间团体的定义是任何至少由一个共同因素相联系的群体。这个因素可以是国籍、民族、宗教或职业。某一职业的成员也可以被称为一个民间团体。因此，数学家就构成了一个民间群体。...

Posted by 证毕QED on March 24, 2023

代数基本定理

高斯的第一个证明

著名的代数基本定理指, 在 $ \mathbb{C}[x] $ 中, 每一个复系数 $ n>0 $ 次多项式(已化为首一多项式) \[f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0\] 都有 $ n $ 个复根, $ k $ 重根按 $ k $ 个根算. 证明代数基本定理只需要证明 $ n>0 $ 次多项式有一个根...

Posted by 证毕QED on January 1, 2020